Математика

Свободен преглед на основните знания от училищния курс (5. до 12. клас), подготвен за припомняне.

Съдържание

Числа и пресмятане
Алгебра
Уравнения и неравенства
Функции
Прогресии
Планиметрия
Стереометрия
Тригонометрия
Комбинаторика и вероятности
Производни и интеграли

1. Числа и пресмятане

Числови множества

ℕ — естествени: 1, 2, 3, …
ℤ — цели: …, −2, −1, 0, 1, …
ℚ — рационални: a/b, b ≠ 0 (½, −0,75)
ℝ — реални: ℚ и ирационалните (π, √2)

Числата се разширяват стъпка по стъпка: от броене (ℕ) към отрицателни числа (ℤ), дроби (ℚ) и накрая всички точки на числовата ос (ℝ). Всяко множество съдържа предишното: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

Фиг. 1. Вложеност на числовите множества.

Ред на действията

Първо скобите, после степените и корените, след това умножение и деление (отляво надясно), накрая събиране и изваждане.

Фиг. 1б. Всяко реално число има точно едно място на числовата ос. Дробите са рационални, √2 е ирационално.

Дроби

a/b + c/d = (ad + bc) / bda/b · c/d = ac / bda/b : c/d = ad / bc

Признаци за делимост
Число	Правило	Пример
2	последната цифра е четна	384
3, 9	сборът на цифрите се дели на 3 (9)	729: 7+2+9 = 18
4	последните две цифри се делят на 4	316
5	завършва на 0 или 5	1 235
10	завършва на 0	470
11	разликата на сборовете на цифрите на четни и нечетни места се дели на 11	2 728

НОД, НОК и пропорции

Двете числа се разлагат на прости множители. НОД взема общите множители с по-малката степен, НОК взема всички множители с по-голямата степен.

НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · ba/b = c/d ⇒ ad = bcp% от A = A · p / 100A, увеличено с p% = A · (1 + p/100)

Правопропорционалните величини имат постоянно частно (y/x), обратнопропорционалните — постоянно произведение (x·y).

Знаете ли? Сборът на числата от 1 до 100 е 5050. Гаус го получава като 50 двойки със сбор 101.

2. Алгебра

Съкратено умножение

Квадрат: (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
Разлика на квадрати: a² − b² = (a − b)(a + b)
Сбор / разлика на кубове: a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)
Куб: (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Алгебрата работи с буквени изрази. Основната цел е да се опрости изразът или да се разложи на множители, за да може да се съкрати или реши.

Степени и корени
Свойство	Формула
Произведение на степени	aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Частно на степени	aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
Степен на степен	(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
Степен на произведение	(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ
Нулева и отрицателна степен	a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Корен като степен	ⁿ√a = a^(1/n)
Корен от произведение	√(ab) = √a · √b (a, b ≥ 0)
Корен от квадрат	√(a²) = \|a\|

Фиг. 2а. (a + b)² = a² + 2ab + b² като лице на квадрат.

Фиг. 2б. Модулът е разстояние до нулата: вътре в интервала или извън него.

Модул

|a| е разстоянието от a до нулата. Тогава |x| < c означава −c < x < c, а |x| > c означава x < −c или x > c.

Логаритми

logₐb е степенният показател, на който трябва да се повдигне a, за да се получи b. Изискване: a > 0, a ≠ 1, b > 0.

logₐb = c ⇔ aᶜ = blog(xy) = log x + log ylog(x/y) = log x − log ylog xᵏ = k · log xlogₐb = log_c b / log_c a

3. Уравнения и неравенства

Квадратно уравнение

Вид: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0
Дискриминанта: D = b² − 4ac
Корени: x₁,₂ = (−b ± √D) / 2a
Виет: x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a
Разлагане: a(x − x₁)(x − x₂)

Линейното уравнение ax + b = 0 има решение x = −b/a при a ≠ 0. При неравенство, ако умножиш или разделиш на отрицателно число, знакът се обръща.

При квадратното уравнение знакът на дискриминантата показва колко реални корена има парабола с уравнение y = ax² + bx + c.

Фиг. 2. Параболата при a > 0 и знак на дискриминантата.

Видове уравнения и как се решават
Вид	Метод
Квадратно неравенство	Намери корените, скицирай парабола. При a > 0: > 0 извън корените, < 0 между тях.
Система	Заместване (изразяваш едното неизвестно) или събиране (унищожаваш едно неизвестно).
Ирационално	Уединяваш корена, повдигаш на квадрат, проверяваш корените в оригиналното уравнение.
Показателно	aᶠ = aᵍ ⇒ f = g
Логаритмично	logₐf = logₐg ⇒ f = g (f, g > 0)

Правило: при всяко уравнение с дроб, корен или логаритъм първо определи допустимите стойности на неизвестното.

4. Функции

Квадратна функция

Вид: y = ax² + bx + c
Връх: x₀ = −b / 2a
y₀ = −D / 4a
Ос на симетрия: x = x₀
Посока: a > 0 нагоре (минимум)
a < 0 надолу (максимум)

Функцията съпоставя на всяка допустима стойност на x точно една стойност на y. Основни свойства: дефиниционно множество, множество от стойности, нули, знак, монотонност, четност.

Фиг. 3. y = x² − 2x − 3: корени −1 и 3, връх (1; −4), пресичане с Oy в −3.

Основни функции
Функция	Графика	Особености
y = kx + n	права	k — наклон, n — пресичане с Oy. Успоредни: равни k. Перпендикулярни: k₁·k₂ = −1.
y = k / x	хипербола	x ≠ 0, асимптоти — осите.
y = aˣ	експонента	винаги y > 0, през (0; 1). Расте при a > 1, намалява при 0 < a < 1.
y = logₐx	логаритъм	x > 0, през (1; 0). Обратна на aˣ.
y = √x	половин парабола	x ≥ 0, y ≥ 0, расте.
y = \|x\|	два лъча	четна, минимум в (0; 0).

Фиг. 4. Показателната и логаритмичната функция са симетрични относно y = x.

Фиг. 4в. Права y = ½x + 1: наклонът е отношението на нарастването на y към нарастването на x.

Фиг. 4г. Хипербола y = 1/x: два клона в I и III квадрант, осите са асимптоти.

Преобразуване на графики

f(x) + c: нагоре с c
f(x − c): надясно с c
−f(x): огледално спрямо Ox
f(−x): огледално спрямо Oy

Четна функция: f(−x) = f(x), графиката е симетрична спрямо Oy. Нечетна: f(−x) = −f(x), симетрична спрямо началото.

5. Прогресии

Сложна лихва

Формула: K = K₀ (1 + p/100)ⁿ
Пример: 1 000 лв. при 5% за 3 г.
≈ 1 157,63 лв.

Прогресията е редица, в която всеки член се получава от предишния по постоянно правило. Аритметичната добавя една и съща разлика, геометричната умножава по едно и също частно.

	Аритметична	Геометрична
Правило	aₙ₊₁ = aₙ + d	aₙ₊₁ = aₙ · q
Общ член	aₙ = a₁ + (n − 1)d	aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹
Сбор на n члена	Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2	Sₙ = a₁(qⁿ − 1) / (q − 1)
Свойство на средния член	aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2	aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁
Пример	3, 7, 11, 15 (d = 4)	3, 6, 12, 24 (q = 2)

Фиг. 5а. Аритметична прогресия (d = 4): равни стъпки.

Фиг. 5б. Геометрична прогресия (q = 2): всяка стъпка е по-голяма от предишната. Скалата е същата като в 5а.

Безкрайна геометрична прогресия със |q| < 1 има краен сбор: S = a₁ / (1 − q). Например 1 + ½ + ¼ + … = 2.

6. Планиметрия

Триъгълник

Сбор на ъглите: 180°
Лице: S = a·h / 2
S = ½ ab sin γ
Херон: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c))
p = (a+b+c)/2
Радиуси: S = p·r = abc / 4R
Неравенство: a < b + c

Планиметрията изучава фигури в равнина. В правоъгълен триъгълник е в сила теоремата на Питагор: квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите.

Фиг. 5. Питагорова тройка 3, 4, 5: 9 + 16 = 25. Други тройки: 5-12-13, 8-15-17.

Окръжност

Фиг. 6. Вписаният ъгъл BAC е половината от централния BOC над същата дъга.

дължина L = 2πrлице S = πr²дъга l = πrα / 180сектор S = πr²α / 360

Допирателната е перпендикулярна на радиуса в допирната точка. Отсечките от външна точка до допирните точки са равни.

Четириъгълници
Фигура	Лице	Особеност
Правоъгълник	S = ab	диагоналите са равни
Квадрат	S = a²	диагонал d = a√2
Успоредник	S = a·h	диагоналите се разполовяват
Ромб	S = d₁d₂ / 2	диагоналите са перпендикулярни
Трапец	S = (a + b)h / 2	средна отсечка m = (a + b) / 2

Фиг. 6а. Медианите се пресичат в медицентъра G и се делят в отношение 2 : 1, считано от върха.

Фиг. 6б. Подобие с коефициент k = 2: страните са два пъти по-големи, лицето — четири пъти.

Подобие и многоъгълници

Подобни фигури: равни ъгли и пропорционални страни. Лицата се отнасят като k², обемите като k³.
Сбор на ъглите на n-ъгълник: (n − 2)·180°. Брой диагонали: n(n − 3) / 2.
Медианите се пресичат в медицентър и се делят 2 : 1. Симетралите дават центъра на описаната окръжност, ъглополовящите — на вписаната.

Координатен метод

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)среда: ((x₁ + x₂)/2 ; (y₁ + y₂)/2)окръжност: (x − a)² + (y − b)² = r²

7. Стереометрия

Означения

B: лице на основата
P: периметър на основата
H: височина
l: образуваща
l² = r² + H²
Диагонал на кутия: d = √(a² + b² + c²)

Стереометрията изучава тела в пространството. Ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната проекция в равнината.

Фиг. 7. Основни ротационни тела.

Повърхнини и обеми
Тяло	Околна повърхнина	Пълна повърхнина	Обем
Куб (страна a)	4a²	6a²	a³
Призма	P · H	2B + P·H	B · H
Пирамида	P·h / 2 (правилна)	B + околна	B · H / 3
Цилиндър	2πrH	2πr(r + H)	πr²H
Конус	πrl	πr(r + l)	πr²H / 3
Кълбо	—	4πR²	4πR³ / 3

8. Тригонометрия

Основни тъждества

Питагорово: sin²α + cos²α = 1
Тангенс: tg α = sin α / cos α
Двоен ъгъл: sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos²α − sin²α
Радиани: 180° = π рад

В правоъгълен триъгълник: sin α = срещуположен катет / хипотенуза, cos α = прилежащ катет / хипотенуза, tg α = срещуположен / прилежащ. В единичната окръжност cos α и sin α са координатите на точката при ъгъл α.

Фиг. 8. Единична окръжност: радиус 1, P = (cos α; sin α).

Таблични стойности
α	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tg	0	√3/3	1	√3	—

Знак по квадранти
	I	II	III	IV
sin	+	+	−	−
cos	+	−	−	+
tg	+	−	+	−

Фиг. 9. y = sin x: период 2π, стойности от −1 до 1. cos x е същата вълна, изместена с π/2.

Теореми за произволен триъгълник

синусова: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2Rкосинусова: c² = a² + b² − 2ab · cos γ

Основни уравнения

sin x = a ⇒ x = (−1)ᵏ arcsin a + kπcos x = a ⇒ x = ± arccos a + 2kπtg x = a ⇒ x = arctg a + kπ

Формули за сбор: sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Редукция: sin(180° − α) = sin α, cos(180° − α) = −cos α.

9. Комбинаторика и вероятности

Комбинаторика

Факториел: n! = 1·2·…·n
Пермутации: Pₙ = n!
Вариации: Aₙᵏ = n! / (n − k)!
Комбинации: Cₙᵏ = n! / (k!(n − k)!)

Вариациите отчитат реда на избраните елементи, комбинациите не го отчитат. Например 3 човека от 10 за отбор (без роли): C₁₀³ = 120.

Вероятност

P(A) = благоприятни изходи / всички изходиP(не A) = 1 − P(A)P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)независими: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Сбор при хвърляне на два зара (36 изхода)
+	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Сборът 7 се получава по 6 начина, затова P = 6/36 = 1/6. Сборът 2 се получава само веднъж: P = 1/36.

Триъгълник на Паскал

Числата в реда n са Cₙᵏ, а всяко е сборът на двете над него. Те са и коефициентите в (a + b)ⁿ.

121

1331

14641

15101051

Фиг. 9а. Брой начини за всеки сбор при два зара: най-вероятен е 7.

Статистика

Средно аритметично: сбор на стойностите / брой.
Медиана: средната стойност в наредена редица.
Мода: най-често срещаната стойност.
Размах: най-голямата минус най-малката стойност.

10. Производни и интеграли

Производна

Дефиниция: f′(x₀) = lim [f(x₀+h) − f(x₀)] / h
Смисъл: наклон на допирателната
Допирателна: y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)

Производната измерва скоростта на изменение на функцията. Където f′ > 0, функцията расте, където f′ < 0, намалява. Екстремум има там, където f′ сменя знака си.

Фиг. 10. Допирателна към y = x² в x = 1: наклонът е f′(1) = 2.

Производни на основни функции
f(x)	f′(x)	f(x)	f′(x)
c	0	eˣ	eˣ
xⁿ	n · xⁿ⁻¹	aˣ	aˣ · ln a
√x	1 / (2√x)	ln x	1 / x
sin x	cos x	cos x	−sin x

(u ± v)′ = u′ ± v′(u · v)′ = u′v + uv′(u / v)′ = (u′v − uv′) / v²(f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x)

Фиг. 10б. Интегралът е лице под графиката: ∫₀² x² dx = 8/3.

Интеграл

Интегралът е обратното на производната. Определеният интеграл на неотрицателна функция е лицето под графиката ѝ.

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C (n ≠ −1)∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)

Знаете ли? Числото e ≈ 2,71828 е основата на естествения логаритъм. Функцията eˣ е единствената, която е равна на собствената си производна.